「子供の科学のトポロメモリー」をもっと楽しもう!QuizKnock “ナイスガイ”の須貝さんが「トポロジー」をやさし~く解説!

 いよいよ発売開始になった「子供の科学のトポロメモリー」。「トポロメモリー」は、トポロジー
てき
に同じ図形が
えが
かれたカードのペアを見つけるゲームだ。ここでは、ゲームをもっともっと楽しんでもらうために、「トポロジー」とは一体何なのか、QuizKnock
クイズノック
“ナイスガイ”の須貝駿貴
すがいしゅんき
さんによる解説
かいせつ
紹介
しょうかい
するよ! 楽しみながら、数学的センスを
みが
いちゃおう!

須貝駿貴(すがい・しゅんき)さん。QuizKnockメンバーで、東京大学大学院博士課程修了。専門は、ものの性質をミクロな視点から考える量子物性論
りょうしぶっせいろん
。「子供の科学」の読者OBでもある。

トポロジーの特徴は「やわらかさ」!

 トポロジーという言葉を
はじ
めて聞いた人も多いかな? みんなが算数や数学で図形を
あつか
うとき、長さや角度などを使って、三角形や四角形、円などの図形を「同じ形」、「
ちが
う形」というようにグループ分けしているよね。これは「幾何学
きかがく
」という学問の基本
きほん
的な考え方で、長さや角度が少しでも違ったら別の図形だから、ある意味、“きっちりした幾何学”ともいえる。

 一方で、トポロジーはその特徴
とくちょう
から“やわらかい幾何学”と呼ばれている。直感的にいうと、図形Aをぐにゃぐにゃと変形
へんけい
して図形Bと同じ形になれば、AとBは同じ図形とみなす考え方だ(下図)。

コーヒーカップからドーナツへとぐにゃぐにゃと変形させた様子。コーヒーカップもドーナツもパーツが1つで穴が1つなので、トポロジー的に見ると同じ形。

 コーヒーカップとドーナツが同じ図形だなんて
おどろ
きだよね。なんだか
むずか
しそうにも思えるけど、実はみんなも無意識
むいしき
のうちにトポロジカル(トポロジー的)なものの見方をしているはずだ。一番わかりやすい
れい
に、電車の路線図がある。

 実際
じっさい
距離
きょり
位置
いち
ではなく、「駅(パーツ)と駅(パーツ)のつながり方」に焦点
しょうてん

しぼ
ることで、駅の前後関係
ぜんごかんけい
がわかりやすく表示されているよね。こんな風にトポロジカルな見方をすると、ものごとの本質的
ほんしつてき
な部分や
かく
されていた性質
せいしつ
を知ることができるんだ。

ほかにも、トポロジーといえば「メビウスの
」や「クラインの
つぼ
」などの図形も欠かせない。こうしたおもしろい図形を考えるだけでもワクワクするよね。

メビウスの輪(左)とクラインの壺(右)。メビウスの輪には表裏がない。紙の帯を1回ねじって
はじ

り付ければつくれるので確認
かくにん
してみよう。クラインの壺はメビウスの輪の発展版
はってんばん
のようなもの。壺の内側をたどっていくと、いつのまにか外側に出ている不思議
ふしぎ
な形。

ポイントは「何で見極めるか」

 ここで気づいた人がいるかもしれないけど、トポロジーでは、
あな
の数や表裏
おもてうら
など「どんな
りょう
によってグループ分けするか」がポイントになってくる。

 この量はぐにゃぐにゃと変形(難しい言葉でいうと「連続変形
れんぞくへんけい
」)しても数値
すうち
が変わらないことから、「トポロジカル不変量
ふへんりょう
」と
ばれる。ものごとをトポロジカルに見るときに重要
じゅうよう
なのが、このトポロジカル不変量を見極
みきわ
めることなんだ。パーツの数、穴の数、分岐
ぶんき
の数、
むす
び目の数、表裏の区別……といった具合にトポロジカル不変量はたくさんある。

トポロジカル不変量を「穴の数」と設定すると、ドーナツと球は別の形(上)。トポロジカル不変量を「表裏の区別」と設定すると、メビウスの輪とふつうの輪は別の形(下)。

 うまくこれを
えら
んで物質
ぶっしつ
現象
げんしょう
分析
ぶんせき
することで、数学の分野を
えて物理や化学でも新発見が次々と生まれている。近年発見された新物質「トポロジカル絶縁体
ぜつえんたい
」はその代表例だ(下図)。かなり難しい内容
ないよう
だけど興味
きょうみ
がある人はチェックしてみよう!

トポロジーの考えを使って発見されたトポロジカル絶縁体。内部は電気が通らないが表面には電気が通る特殊
とくしゅ
な性質を持っている。物質内の電子の状態を表す「波動関数
はどうかんすう

《》
」の中にトポロジカル不変量を見つけ、トポロジーの視点で分類することで予測・発見された。

 トポロメモリーはこんな「トポロジカルなものの見方」を
きた
えるのにぴったりなゲーム。遊びながら、トポロジーの世界へ一歩を
みだそう!

本記事は、「子供の科学」2020年10月号掲載の記事を再編集したものです。

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